什么是黎曼猜想？？黎曼猜想内容官网

为什么最纯粹的数学性质，如黎曼泽塔函数的非平凡零点在临界线上的分布，与最现实的物理现象有关，如复杂原子核的能级分布？这种神奇的联系本身预示着什么？这两个问题直到今天也没有得到完全的解答。

作者|卢昌海

2000年5月24日，克莱数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。会上，与会者列出了7道数学题。

并做出了一个轰动的决定：为每个问题设立100万美元的巨额奖金。在1900年，也就是这次会议的100年前，也是在巴黎的一次数学会议上。

一位名叫戴维希尔伯特的德国数学家也列出了一系列数学问题。那些问题没有获得任何奖金，但对后世数学的发展产生了深远的影响。

这两个相隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎举行之外，还有一个共同点，那就是在列出的问题中，有一个——，只有一个——是常见的。

那个难题就是“黎曼猜想”。黎曼猜想，顾名思义，是由一位名叫波恩哈德黎曼的数学家提出的。

这位数学家于1826年出生在一个名叫布雷斯伦茨的小镇上，这个小镇现在属于德国，然后属于汉诺威王国。在1859年，

黎曼当选为柏林科学院通信学院院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文。那篇只有8页纸的论文，就是黎曼猜想的“诞生地”。

黎曼的论文研究了一个数学家长期感兴趣的问题，即素数的分布。质数是像2、5、19和137这样的数字，除了1和它本身之外，它们不能被其他正整数整除。这些数在数论研究中非常重要。

因为所有大于1的正整数都可以表示为它们的乘积。从某种意义上说，它们在数论中的位置类似于构建物理世界中一切的原子的位置。质数的定义很简单，中学甚至小学都会教。

但它们的分布是不寻常的，数学家们付出了巨大的努力，但迄今为止尚未完全了解它们。黎曼论文的一个重要成果是发现素数分布的奥秘完全隐藏在一个特殊函数中，特别是，

使该函数值为零的一系列特殊点对素数分布的详细规律有决定性影响。该函数现在称为黎曼泽塔函数，该系列特殊点称为黎曼泽塔函数的非平凡零点（以下有时称为零点）。有趣的是，

尽管黎曼论文的成就意义重大，但文本极其简洁，甚至有点过于简洁，因为它包括了许多“省略证明”的地方。可怕的是“证明被省略”本该用来省略那些显而易见的证明，但黎曼的论文却没有。

他的一些“证明被省略”是后来的数学家花了几十年的努力才完成的，有些甚至在今天仍然是空白的。为什么黎曼省略了那么多不明显的证明？我们无法确定，

也许是因为他们对他来说真的很明显，或者是因为他不想花太多时间写文章。但有一点基本可以肯定，那就是他的“遗漏证明”绝不是类似于给调皮学生考试糊弄的做法。

而且，把假证明视为正确的很可能不是盲目乐观。——后者在数学史上有很多先例。例如，当法国数学家皮耶德费玛写下费马猜想时，他说：“我发现了一个非常好的证明。

不幸的是，差距太窄，无法写下“基本上已被数学界公认为盲目乐观，认为错误的证明是正确的。”因为人们后来从黎曼的手稿中发现，他对许多论文中的省略证明进行了扎实的研究，而且这些研究的水平很高。

甚至当它在几十年后被整理出来时，有时它仍然具有巨大的领导力。但黎曼的论文中除了大量“证明被省略”之外，还有一个他明确承认自己无法证明的命题，那就是黎曼猜想。所以，

什么是黎曼猜想？简单来说就是关于黎曼zeta函数非平凡零点的猜想，对素数分布的详细规律有决定性影响。关于那些非平凡的零点只有一个容易证明的结果。

也就是说，它们都分布在一个带状区域内，但黎曼认为它们的分布比这个容易证明的结果要整齐得多。他猜测它们都位于带状区域中间的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。

这条直线被认为包含黎曼泽塔函数的所有非平凡零点，称为临界线。

黎曼猜想自1859年诞生以来，已经过去了150多年。在此期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家攀登，但没有人能登上顶峰。当然，如果我们只比较时间，

黎曼猜想的这一记录与费马猜想和哥德巴赫猜想相差甚远，费马猜想在三个半世纪后被解决，哥德巴赫猜想在两个半世纪后仍然成立。但黎曼猜想在数学中的重要性远远超过这两个公众认知度更高的猜想。一些人统计过，

在今天的数学文献中，基于黎曼猜想（或其扩展形式）的建立的数学命题有1000多个。这意味着：如果证明了黎曼猜想及其扩展形式，所有那些数学命题都可以提升为定理；另一方面，如果黎曼猜想被否定，

那么至少有一些数学命题会和他一起被埋葬。一个数学猜想与这么多数学命题的命运息息相关，这是极其罕见的。然而，迄今为止，数学家攀登这座巍峨山峰的努力并没有完全成功。

在这个过程中，它也取得了一些阶段性成果，例如建立了几个营地。这一成果的第一阶段出现在黎曼猜想问世37年后的1896年。如前所述，关于黎曼泽塔函数的非平凡零点，

只有一个结果很容易证明，那就是它们都分布在一个带状区域内。那个阶段的结果是什么？也就是说，黎曼泽塔函数的非平凡零点只分布在带状区域内。

不包括边界。这一成就是由法国数学家雅克哈达玛和比利时数学家查尔斯德拉瓦莱-普桑独立完成的。乍一看，

这似乎是一个非常微不足道的成就。与其内部相比，带状区域的边界实际上面积为零。但不要小看这项成果，它对于研究黎曼猜想来说只是一小步，但对于研究另一个数学猜想来说却是一个巨大的飞跃。

因为它直接导致后者的证明。那个数学猜想现在被称为素数定理，它描述了素数的大规模分布规律。素数定理自提出以来已经有一百多年的历史了。

在当时，这是数学界比黎曼猜想更期待的事情。取得上述成就后，又过了18年，1914年，

丹麦数学家哈那德玻尔和德国数学家埃德蒙朗道取得了另一个阶段性成果，即他们证明了黎曼泽塔函数的非平凡零点在临界线附近趋于“紧密联合”。

用数学语言来说，这个结果就是无论包含临界线的带域有多窄，它几乎包含了黎曼泽塔函数的所有非平凡零点。但是，“紧密团结”属于“紧密团结”，这个结果不足以证明任何零点都刚好在临界线上。

所以离黎曼猜想的要求还很远。但是在同一年，

另一项阶段性成果出现了：英国数学家戈弗雷哈代终于在关键线——上插上了“红旗”。他证明了黎曼泽塔函数在临界线上有无穷多个非平凡零点。乍一看，

这似乎是一个严重的结果，因为黎曼泽塔函数的非平凡零点是无穷多的，哈代证明了临界线上有无穷多的零点，这在字面上是相同的。不幸的是，“无限”在数学中是一个非常微妙的概念。

同样是无限的，但它们不一定是同一件事。它们不仅不一定是同一种东西，而且可以相距很远，甚至无限远！因此，为了知道哈迪的结果离黎曼猜想的要求有多远，我们需要更具体的结果。

这一具体结果出现在七年后的1921年。那一年，哈代与英国数学家约翰利特伍德合作，在他七年前的成果中对“无穷大”做了具体的估计。所以，

根据他们的具体估计，已经证明临界线上的“无穷多个非平凡零点”与所有非平凡零点相比较。

百分比是多少？对于读者来说，答案可能太令人沮丧了：零百分比！21年后的1942年，数学家们将这个百分比提高到了大于零的数字。那年，

挪威数学家阿特勒塞尔伯格最终证明了这个百分比大于零。塞尔伯格在第二次世界大战的硝烟弥漫欧洲各地时取得了这一成就，他在挪威奥斯陆的大学几乎成了一座孤岛。

连数学期刊都送不出去。但塞尔伯格不在乎。他说，“就像在监狱里一样。你与世界隔绝，但你显然有机会专注于自己的想法，而不会被别人所做的事情分散注意力。

从这个意义上说，我认为这种情况对我的研究有很多好处。塞尔伯格很好地利用了“许多有利方面”，独自进行了“一个人的战斗”，并最终取得了成果。他的成就如此显著。

以至于玻尔在战后开玩笑说，战争时期欧洲的数学新闻可以用一个词来概括，那就是：塞尔伯格。然而，尽管塞尔伯格证明了该百分比大于零，但他并没有在论文中给出具体值。塞尔伯格之后，

数学家们开始研究这个比值的具体数值，其中美国数学家列文森取得了最显著的成就。他证明了至少34%的零在临界线上。列文森在1974年取得了这一成果，

那时，他已经60多岁了，他即将走到生命的尽头（第二年他就去世了），但他仍然固执地从事数学研究。列文森之后，这一领域的进展变得非常缓慢，几位数学家竭尽全力在百分比的第二个数字上做文章。

其中包括中国数学家卢师陀和姚期（他们在1980年证明至少35%的零位于临界线上）。直到1989年，

直到那时，才有人撼动了百分比的第一个数字：美国数学家布莱恩康利证明至少40%的零点位于临界线上。这也是——在这方面以及在整个黎曼猜想研究中最强的成果之一。

这方面的努力仍在继续。另外值得一提的是，“黎曼猜想” 这一金字招牌后来被推而广之，用来表示一些“山寨版” 和“豪华版” 的猜想。

那些猜想为什么能跟黎曼猜想共享招牌呢？因为它们跟黎曼猜想有极大的相似性，比如都有一个跟黎曼 函数相类似的函数，那个函数具有与黎曼 函数相类似的性质，等等。在那些猜想中，

“豪华版” 黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更强的猜想(即上文提到过的黎曼猜想的推广形式)，它们跟黎曼猜想一样，迄今尚未得到证明(这是显然的，

否则的话黎曼猜想作为其特例也就被证明了)；“山寨版” 黎曼猜想则是跟黎曼猜想有相似性却互不包含的猜想，它们已全部得到了证明，而且撇开我们所取不中听的绰号不论，它们的证明乃是数学上的重大成果，

既催生过新数学方法的诞生，也为证明者摘取过数学界的最高奖——菲尔茨奖(Fields medal)。而且，“山寨版” 黎曼猜想作为唯一挂着黎曼猜想这一金字招牌却被证明了的猜想，

曾使人们对久攻不下的黎曼猜想也一度乐观起来。可惜它山之石，并不总是可以攻玉的。从目前的情况来看，“山寨版” 黎曼猜想就只能在“山寨” 里玩玩，它们的证明虽然重要，

对于解决真正的黎曼猜想却并无实质性的启示。

03聊了这么多关于黎曼猜想的研究成果，我们稍稍换换口味，来聊一些数学家的故事吧。也许在很多人眼里，数学是一门很枯燥的学问，数学家们则是一群性格乏味的怪人。但实际上，富有智慧的人往往是不会真正乏味的，

数学家们也是如此，他们在埋头演算的勤恳之外，也给我们留下了许多独特的幽默。匈牙利数学家波利亚(George Plya) 曾经讲过一个跟黎曼猜想有关的小故事，

故事的主角就是我们前面提到过的英国数学家哈代与丹麦数学家玻尔。这两位在黎曼猜想研究中作出过成果的数学家当然都对黎曼猜想怀有浓厚的兴趣。有一段时间，哈代常常利用假期访问玻尔，一起讨论黎曼猜想，

直到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次，当哈代又必须匆匆赶回英国时，很不幸地发现码头上只剩下一条小船可以乘坐了。从丹麦到英国要跨越几百公里宽的北海(North Sea)，

在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情，弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的平安，信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。哈代却是一个坚决不信上帝的人，非但不信，

甚至还蓄意跟上帝作对：把向大众证明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之一。不过在那生死攸关的旅程面前哈代也没闲着，他给玻尔发去了一张简短的明信片，上面只写了一句话“我已经证明了黎曼猜想”。

哈代果真证明了黎曼猜想吗？当然不是。他为什么要发这么一张忽悠同事的明信片呢？当他平安抵达英国后他向玻尔解释了原因。他说如果那次他所乘坐的小船果真沉没了的话，那句话就会变得死无对证，

人们就只好相信他确实证明了黎曼猜想。可是他知道上帝是绝不会甘心让他这样一个坚决不信上帝的人获得如此巨大的荣誉的，因此它一定不会让小船沉没的。哈代凭借自己的幽默成为了故事主角，

有些数学家则是因为其他数学家的幽默而被动地成为了故事主角，我们前面提到过的法国数学家哈达玛与比利时数学家普森就是如此。这两人成为主角的原因大家恐怕是猜不到的，那是因为他们的长寿：哈达玛享年98 岁，

普森活到96 岁。这两个令人眼红的岁数不知从何时起引发了一个传说，那就是：谁要是能证明黎曼猜想，他就能不朽——不是抽象意义上的不朽(那是毫无疑问的)，

而是实际意义上的不朽(即长生不老)！不过这个传说的炮制者看来是没有关怀到玻尔和兰道，他们的研究成果可比哈达玛和普森的成果强多了，照说起码也该混个百岁老人当当吧。结果呢？兰道只活了61 岁，

玻尔稍胜一筹，也只有63 岁。可能是意识到这个传说漏洞太大，出生于波兰的数学家欧德里兹科(Andrew Odlyzko) 把幽默指向了另一个方向，提出了一个完全相反的说法，

那就是：谁要是否证了黎曼猜想，他就会立刻死去！欧德里兹科甚至开玩笑说其实黎曼猜想已经被否证了，只不过那个否证了黎曼猜想的倒霉蛋没来得及发表论文就死去了。当然，这些都只能作为饭后茶余的谈资而不宜较真。

不过，一个极度艰深的东西对投入得过于深入的人产生健康方面的影响，倒并不是毫无可能的。数学界也确实有人猜测，黎曼猜想的极度艰深有可能对个别数学家的健康产生过影响。

比如流行传记《美丽心灵》 的主角、 美国数学家纳什(John Nash) 曾在20 世纪50 年代后期研究过黎曼猜想，在那之后不久就患上了精神分裂症。

纳什患病的原因一般认为是参与军方工作引致的心理压力，但也有人认为他贸然去啃黎曼猜想那样的坚果，对其病症发展有可能起到过推波助澜的作用。

黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想。美国数学家蒙哥马利(Hugh Montgomery) 曾经表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，

多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。在探索黎曼猜想的过程中，很多数学家曾经满怀信心，渐渐地却被它的艰深所震动，态度转为了悲观。我们前面提到过的李特伍德就是一个例子，当他还是学生的时候，

他的导师就随手把黎曼 函数写给了他，让他利用暑假时间研究其零点位置。初出茅庐的李特伍德也不当回事地领命而去。后来他与哈代倒也果真在这方面做出了成果。但渐渐地，他的态度发生了变化，

甚至表示：“假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的，日子会过得更舒适些”。曾经在“山寨版” 黎曼猜想研究上做出过成果的法国数学家韦伊(Andr Weil) 也有过类似的态度转变。

当他在“山寨版” 黎曼猜想研究上做出成果时，曾经与一些其他人一样对解决黎曼猜想燃起了信心，还表示如果自己证明了黎曼猜想，

会故意推迟到猜想提出100 周年(即1959 年) 时才公布——言下之意，自己不迟于1959 年就有可能解决黎曼猜想。不过，岁月渐渐磨去了他的乐观，他晚年时曾对一位友人承认，

自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解决。就连本文开头提到的那位德国数学大师希尔伯特，他对黎曼猜想的看法也经历了从乐观到悲观的转变。在1919 年的一次演讲中，

希尔伯特曾表示自己有望见到黎曼猜想的解决，但后来他的态度显著地转为了悲观。据说有人曾经问他：如果他能在500 年后重返人间，他最想问的问题是什么？他回答说是：是否已经有人解决了黎曼猜想？接下来，

我们将介绍人们从另一个方向探索黎曼猜想的故事，我们将会看到，那里不仅也有故事，而且还有一些非常出人意料的东西。

04黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名论文除了有许多“证明从略” 的地方外，还有一个很突出的特点，那就是它虽然反复涉及了黎曼 函数的非平凡零点，

甚至还提出了与零点分布有关的一系列命题(包括大名鼎鼎的黎曼猜想)，却没有举出哪怕一个具体的例子——即没有给出哪怕一个零点的数值。而且与那些“证明从略” 的地方并非容易证明同样要命的是，

黎曼不曾给出的那些零点的数值也并非轻易就能计算得了的。事实上，直到黎曼那篇论文发表44 年后的1903 年，

才有人填补了这方面的空白：丹麦数学家格兰姆(Grgen Gram) 计算出了15 个零点的数值。这是人们首次窥视到黎曼 函数非平凡零点的具体存在。当然，

那15 个零点全都位于黎曼猜想所预言的临界线上。与我们在第二节中介绍的理论研究中的层层推进基本平行，数学家们计算零点的漫长征途，也呈现出了层层推进的态势。

但这推进过程在起初一段时间里却显得极为缓慢，直到1925 年，才计算出了区区138 个零点，而且在那之后陷入了停顿。为什么会陷入停顿呢？原因很简单，就是当时计算零点的方法比较笨拙，

致使计算量过于巨大。而当时的计算又全靠手工，零点数目一多，计算量就大到了令人难以应付的程度。既然是计算方法的笨拙使计算陷入了停顿，那么很显然地，计算的重新启动需要有新的计算方法。

这新的计算方法在7 年后的1932 年终于“出土” 了——我没有写错，确实是“出土”，

因为它是从早已去世了的黎曼的手稿中“挖” 出来的！黎曼那个时代的一些著名数学家有一个今天的数学家们很少效仿、 今天的读者很难理解的特点， 那就是常常不发表自己的研究成果。由于这个特点，

那些数学家的手稿有着比普通名人用品所具有的单纯的猎奇价值重要得多的意义，因为从中有可能发现一些他们未曾发表过的研究成果。黎曼的手稿就是如此。不过令人惋惜的是，

黎曼的手稿在他去世后有很大一部分被他的管家付之了一炬，只有一小部分被他妻子抢救了出来。在劫后余生的手稿中，又有一部分被他妻子以涉及私人信息为由“克扣” 掉了(其中包括许多几乎通篇都是数学，

只夹带了极少量私人信息的手稿)，剩下的才是后人真正可以查阅的。那些可供查阅的手稿被收录于哥廷根大学的图书馆。不过，那部分手稿虽然可供查阅，但只要想想黎曼公开发表的文章尚且如此艰深，

动辄花费后世数学家几十年的时间才能填补空白，就不难想象研读他的手稿会是什么感觉了。黎曼的研究领域极为宽广，手稿中常常诸般论题混杂，而且几乎没有半句说明。自黎曼的手稿被存放于哥廷根大学图书馆以来，

陆续有一些数学家及数学史学家慕名前去研究，但在那极度的艰深晦涩面前，大都满怀希望而来，却两手空空而去。黎曼的手稿就像一本高明的密码本，牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。但到了1932 年，

终于有一位数学家从黎曼的手稿中获得了重大发现——发现黎曼不仅亲自计算过若干个零点的数值，而且还有自己独特的、直到“出土” 之日仍遥遥领先于当时数学界的计算方法。

这一发现为黎曼 函数非平凡零点的计算带来了脱胎换骨般的变化，让停滞在第138 个零点上的计算重新启动。当然，这一发现也进一步提高了黎曼那原本就已极为崇高的声望，

在很大程度上驱散了一些数学家对黎曼论文中那些“证明从略” 部分的怀疑。因为它表明黎曼那篇高度简练的论文只是冰山的尖顶，在那下面有着大量扎实的研究。那么，

发现这一切的人是谁呢？是黎曼的一位同胞：德国数学家西格尔(Carl Ludwig Siegel)。为了从天书般的黎曼手稿中“出土” 公式，西格尔付出了艰辛的努力。为了表彰他的努力，

人们将这一计算黎曼 函数非平凡零点的新方法称为了黎曼-西格尔公式(RiemannSiegel formula)。黎曼-西格尔公式的“出土” 大大推进了零点计算。在短短几年间，

数学家们就把零点计算推进了一个数量级，达到了1000 个以上的零点。虽然随后爆发的第二次世界大战中断了零点计算，但战后计算机技术的发展，

又使得零点计算呈现出了井喷势头：从1956 年到1969 年的十几年间，被计算出的零点数目又推进了好几个数量级，从25,000 个推进到了3,500,000 (350 万) 个。当然，

所有这些零点也都无一例外地位于黎曼猜想所预言的临界线上。说到这里顺便提醒读者一下，我们这里及下文所说的零点计算除早期那些小规模的计算外，大都只是验证零点是否在临界线上，而并不计算它们的具体数值。

验证了350 万个零点全部位于临界线上，无疑大大增强了数学家们对黎曼猜想的信心。不过，不相信的也还是大有人在。

比如德国普朗克数学研究所(Max Planck Institute for Mathematics) 的一位名叫查基尔(Don Zagier) 的数学家对这种验证就不以为然。在他看来，

区区350 万个零点根本不说明问题。他的这种不以为然很快遇到了对手：一位对黎曼猜想深信不疑的铁杆“粉丝”。 这位“粉丝” 名叫蓬皮埃利(Enrico Bombieri)，是著名的意大利数学家。

两人一个疑心重重、一个深信不疑，谁也不服谁。怎么办呢？查基尔提议打赌。说起来，其实查基尔对黎曼猜想倒也并非全然不信，而且也并非一味轻视对零点的数值计算，他只是觉得350 万个零点实在太少了，

不足以让他信服。那么，要计算多少个零点才能让他信服呢？他开出的数目是3 亿。于是两人就以这个数目为限订下了赌约：如果黎曼猜想在前3 亿个零点中出现反例，就算查基尔获胜；反之，如果黎曼猜想被证明，

或者虽然没被证明，但在前3 亿个零点中没有出现反例，则算蓬皮埃利获胜。赌注为两瓶葡萄酒。初看起来，相对于已经计算出的350 万个零点来说，查基尔的3 亿个零点简直就是“狮子大开口”，

查基尔自己也估计这个赌局也许要花上30 年的时间才能分出胜负。可是他显然跟那个时代的多数其他人一样大大低估了计算机技术的发展速度。事实上，离赌局的设立还不到10 年，1979 年，

零点计算就被推进到了8,100 万个。不久之后，又被推进到了两亿个，距离赌局的终结只剩下了一步之遥，而形势则对查基尔极为不利——因为那两亿个零点全都位于临界线上。不过，

计算出那两亿个零点的数学家对查基尔的赌局一无所知，在计算完两亿个零点后就停了下来，这一点让查基尔大大地松了一口气。可惜他这口气没能松太久，因为他的一位朋友恰好访问了那位数学家，

不仅将赌局之事告诉了后者，还进行了一番鼓动。后者一听零点计算还有这么重大的意义，就立刻展开了新的计算，一鼓作气推进到了3 亿个零点——当然，黎曼猜想岿然不动。查基尔输了，

他兑现诺言买来了两瓶葡萄酒。蓬皮埃利当场打开其中一瓶与他共饮。他们喝掉的这瓶葡萄酒用查基尔的话说，是世界上被喝掉的最昂贵的葡萄酒因为正是为了以它为赌注的那个赌局，数学家们特意多计算了一亿个零点，

为此花费了约70 万美元的计算经费。也就是说，被他们喝掉的这瓶葡萄酒是用35 万美元的经费换来的！喝完了这瓶葡萄酒查基尔从此也对黎曼猜想深信不疑了。在查基尔和蓬皮埃利的赌局之后，

像查基尔那样看重零点计算、以此决定自己对黎曼猜想信任度的数学家越来越少了；像验证3 亿个零点那样愿意把巨额经费投入到零点计算中的人也越来越少了。不过对零点的计算并没有就此终止。 2001 年，

一位名叫魏德涅夫斯基(Sebastian Wedeniwski) 的德国研究者创立了一种崭新的计算模式：分布式计算，即利用彼此联网的许多台计算机来共同计算零点。这个分布式计算系统建成之后，

不久就被推向了互联网，吸引了世界各地大量数学和计算机爱好者的参与，联网计算机的数目很快就稳定在了10,000 台以上，每天计算出的零点数目在10 亿以上。至于经费，则基本可以忽略不计，

因为参与者都是自愿而无偿地贡献出自己的计算资源的。到了2004 年末时，魏德涅夫斯基的分布式计算系统所计算出的零点总数逼近了一个激动人心的数目：一万亿。 眼看着一次辉煌庆典已指日可待，

不料却从法国传来了一个令人吃惊的消息：两位法国人完成了对10 万亿个零点的计算，比他们翘首期待的一万亿高出了整整一个数量级！更令人吃惊的是，

这两位法国人完成这一工作所用的计算资源居然只是几台普通的计算机，所花费的时间也只有一年多。此时此刻，这样的一则消息对于魏德涅夫斯基来说无疑是当头一棒，结果庆典变成了谢幕，

魏德涅夫斯基在不久之后关闭了整个系统。此情此景，犹如九十多年前英国探险家斯科特(Robert Falcon Scott) 挺进南极的经历：当他们历经艰辛、即将抵达南极点时，

却发现挪威探险家阿蒙森(Roald Amundsen)已经捷足先登(斯科特及同伴后来在黯然返回的途中全部遇难)。两位法国人凭借几台普通计算机一年多的工作，

居然超过了全世界上万台联网计算机几年的工作，而且超过了整整一个数量级，这是什么缘故呢？是因为他们采用了一种比黎曼-西格尔公式更高明的计算方法。

这一计算方法是出生于波兰的数学家欧德里兹科(Andrew Odlyzko) 与合作者肖恩哈格(Arnold Schnhage) 于1988 年所提出的。

05欧德里兹科为什么会研究零点计算的算法呢？这也牵扯到一段故事，而且是很有意思的故事。当然，表面上的原因是跟所有其它从事零点计算的人一样的，那就是因为他对零点计算很感兴趣。不过，

他那兴趣的由来跟其他人有所不同，其他人的兴趣大都来自于对黎曼猜想本身的兴趣，他却是因为听了美国数学家蒙哥马利(Hugh Montgomery) 的一个并非直接针对黎曼猜想的研究报告，才从事零点计算，

并研究零点计算的算法的。蒙哥马利那个报告所介绍的是一项很独特的研究，即研究黎曼 函数非平凡零点在临界线上的分布规律。他的研究表明，在适当的假设——其中包括假设黎曼猜想成立——下，

可以证明黎曼 函数的非平凡零点在临界线上的分布呈现出一种相互排斥的趋势(即倾向于彼此远离)，这个趋势可以用一个不太复杂的数学公式来描述。

蒙哥马利自20 世纪70 年代初就开始研究黎曼 函数非平凡零点在临界线上的分布规律了。他发现了规律，并且因为那规律不太复杂而直觉地感到在其背后应该蕴含着某种玄机。为了揭开那玄机，

他特意访问了普林斯顿高等研究院。在那里，他“觐见” 了黎曼猜想研究的元老赛尔伯格。可惜就连赛尔伯格也看不透那规律背后的玄机。不过，在高等研究院那样一个名家云集的地方，

随时都有可能出现意想不到的学术交流。蒙哥马利在最有希望得到信息的赛尔伯格那里不曾得到有价值的信息，却在高等研究院的茶室里偶遇了一位物理学家。那位物理学家名叫戴森(Freeman Dyson)，

是一位研究领域很宽广的人物，当他在和蒙哥马利的攀谈中获知后者所发现的这个零点在临界线上的分布规律时，登时就吃了一惊。因为他想起了自己十多年前的一系列研究。

那些研究跟黎曼 函数的非平凡零点没有半点关系，但在那些研究中，他却得到过同样的分布规律！戴森十多年前所研究的是什么呢？是从一些极为复杂的物理体系——比如复杂原子核——中抽象出来的问题。

处理那种问题所用的是一类特殊的统计物理手段，而其中一个典型的课题则是研究复杂体系中能量的分布——物理学家们称之为能级分布。戴森曾经得到过那种分布的具体形式，它除了可以描述能级外，

还出现在了许多其它复杂的物理现象中。而现在，从蒙哥马利所从事的纯数学研究中，他居然再次见到了同样的分布，这实在是大大出乎他意料的事情。几年之后，蒙哥马利再次来到普林斯顿，

并作了一次研究报告——即欧德里兹科所听到的报告。在报告中，他除了介绍自己的研究外，还提到了他和戴森所发现的这种数学与物理之间的奇怪联系。这一切引起了欧德里兹科的浓厚兴趣，

使他决定通过大规模零点计算来验证蒙哥马利所发现的零点在临界线上的分布规律。从20 世纪80 年代末到90 年代初，欧德里兹科利用他和合作者肖恩哈格所提出的新算法，完成了几批大规模的零点计算，

结果非常漂亮的证实了蒙哥马利所提出的零点在临界线上的分布规律。考虑到蒙哥马利的结果是在假设黎曼猜想成立的基础上得到的，因此这种证实也可以在一定程度上被视为是对黎曼猜想的间接支持。不过，

所有这些都没有解决一个最根本的问题，那就是像黎曼 函数非平凡零点在临界线上的分布这样最纯粹的数学性质，

为什么会跟像复杂原子核的能级分布那样最现实的物理现象扯上关系？这种神奇的关联本身又预示着什么呢？这两个问题直到今天也没有完全的答案。但有意思的是，在半个多世纪前，

却有两位数学家曾经提出过一个猜想——一个与蒙哥马利、戴森欧德里兹科所发现并证实的这种数学与物理间近乎离奇的联系遥相呼应的猜想。那两位数学家的名字我们在前文中曾经提到过，一位是希尔伯特，

一位是波利亚，那个猜想则被称为希尔伯特-波利亚猜想，它是对黎曼 函数非平凡零点分布的猜测，

其中赫然包括了猜测它们与某个物理体系的能级相对应的可能性！不过这个希尔伯特-波利亚猜想本身也颇有一些离奇的地方，因为当人们因蒙哥马利、戴森、欧德里兹科的研究而对它发生兴趣，试图追溯它的起源时，

却惊讶地发现无论希尔伯特还是波利亚，居然都不曾在任何文字之中述及过这个猜想。难道这个猜想根本就是子虚乌有的传说？幸运的是，94 岁高龄的当事人波利亚那时仍健在，

他在一封信件中以个人回忆的方式肯定了这一猜想的存在性。但早已去世的希尔伯特在什么场合下提出过这一猜想，却很可能将成为数学史上一个永久的谜团了。

06介绍了这许多有关黎曼猜想的研究，有一个问题想必很多读者都会关心，那就是黎曼猜想的终极命运将会如何？它是会被证明呢？还是会被推翻(否证)？对于这个有关黎曼猜想“前途命运” 的大悬念，

数学家们各有各的看法。有些数学家相信黎曼猜想是对的，比如那位输掉了葡萄酒的查基尔自赌局告负之后就对黎曼猜想深信不疑。他相信黎曼猜想的理由很“纯朴”，那就是数值证据已经够强了。读者们想必还记得，

他当时要求的数值证据是3 亿个零点，现在的证据已经超过了10 万亿，远远超出了他的要求。因此，他的相信是有理由的。不过，由于零点有无穷多个，实际上再多的数值证据也是微不足道的。

而且在数学上有过这样的例子，即一个被否证了的数学命题的数值反例出现在极遥远的地方，远远超出数值证据所能触及的范围。黎曼猜想会不会也是如此呢？谁也说不准。当然，支持黎曼猜想的证据不仅仅来自数值计算，

还有我们介绍过的大量其它研究，其中包括至少有40% 的非平凡零点位于临界线上那样颇为可观的结果。相信黎曼猜想的数学家们也可以从那些方面获得信心。有些数学家则认为黎曼猜想是错的。

面对黎曼猜想所得到的如此海量的支持，选择那样的立场当然是要理由的。这其中一条打不倒的理由就是：所有支持都不是证明。确实，对于像黎曼猜想这样的数学命题来说，要想证明它成立，

必须“一个都不能少” 地涵盖所有的零点，缺一丁点儿都不行。但反过来，要想推翻它，却只要找到一个反例——即一个不在临界线上的非平凡零点——就足够了，

这种繁简程度上的不对称对于怀疑黎曼猜想的数学家们是十分有利的。除上述两种截然相对的态度外，

黎曼猜想的长期悬而未决还使一些人联想到了所谓的哥德尔不完全性定理(Gdel's incompleteness theorem)，认为黎曼猜想有可能是一个不能被判定——即既不能被证明，

也不能被否证——的命题。据说哥德尔(Kurt Gdel) 本人就有过这样的看法。不过，黎曼猜想假如不成立，在原则上是可以用明确的步骤，通过数值计算找到它的反例，从而证明其不成立的。

从这个意义上讲，黎曼猜想假如不成立，它是可以被判定为不成立的，而它如果不能被判定，实际上是表明它成立。好了，以上就是对黎曼猜想的简单介绍。这一介绍因为略去了数学细节而看上去更像是一串故事。但实际上，

黎曼猜想是一个极为艰深的课题，如果哪位读者想要啃一啃这个猜想，首先要有扎实的数学功底，否则非但啃不动，还很可能会崩掉牙齿——可别怪我没提醒哦。

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